Diketahuisegitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut. Jika ∠BAC = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm, dan BC = 5 cm, tentukan a. luas segitiga ABC; b. panjang AD. Jawab: a. Karena ∠BAC = 90° salah satu kaki sudutnya bisa dijadikan tinggi atau alas, maka L.ΔABC = ½ x alas x tinggi L.ΔABC = ½ x AB x AC L.ΔABC = ½ x 4 cm x 3 cm L.ΔABC = 6 cm2 Kita ilustrasikan soal ke dalam gambar. * Dapat kita ketahui jarak titik C ke garis AH sama dengan jarak titik C ke P. * Karena panjang rusuk = 6 cm, maka panjang diagonalnya adalah : AC = AH = CH = √(6² + 6² ) = √(36 + 36) = √72 = √(36 x 2) = 6√2 cm * Segitiga ACH merupakan segitiga sama sisi maka titik P titik tengah AH. AP = 1/2 Diketahui Karena garis tinggi terhadap maka sehingga adalah segitiga siku-siku.. Pandang dan , kedua segitiga tersebut sebangun karena memenuhi syarat dua segitiga sebangun yaitu dua sudutnya sama besar (sudut dan sudut siku-siku pada kedua segitiga tersebut sama besar), maka berlaku:. Karena panjang sisi, maka harus non negatif sehingga .. Gunakan teorema Dalamsegitiga, terdapat beberapa garis-garis istimewa, di antaranya sebagai berikut: Garis berat, yaitu garis yang ditarik dari titik sudut ke pertengahan sisi di hadapannya. Ketiga garis berat melalui satu titik yang disebut titik berat. Titik berat membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1. Garis Berat Segitiga. Cβ 1,25 2 300 m A 45o 60o Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC! 12. Diketahui segitiga sembarang ABC seperti gambar. Panjang AB = 0,1 ; BC = 2 ; AC = 1,25. Sudut CAB = 53 o, sudut ABC = α, sudut BCA = β. Tentukan nilai dari sin 2 α + cos 2 α tan 2 α − sec 2 α − cot 2 α − csc 2 α sin α! 13. Ambilgaris tinggi dari segitiga. Phytagoras saat mencari tinggi segitiga. Berikutnya menentukan luas segitiga. 4 kelompok rumus berikut untuk menentukan luas suatu segitiga. Luas segitiga dengan rumus pertama: Soal No. 2 Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut! Tentukan luas segitiga dengan menggunakan . Pengertian Segitiga Segitiga adalah poligon dengan tiga sisi dan tiga sudut. Sebuah segitiga terbentuk dari tiga buah garis lurus yang bersambungan satu sama lain. Segitiga merupakan salah satu bentuk dasar dalam geometri yang paling Garis Istimewa pada Segitiga Garis itimewa pada segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut atau satu sisi dengan sisi di hadapannya yang berdasarkan aturan tertentu. Jadi garis istimewa dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang membagi segitiga tersebut berdasarkan aturan tertentu.,Jenis-Jenis Garis Istimewa pada Segitiga Ada empat macam garis istimewa pada sebuah segitiga yaitu • Garis bagi • Garis tinggi • Garis berat • Garis sumbuPengertian Garis Bagi Definisi garis bagi dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut segitiga ke sisi dihadapannya dan membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar. Perhatikan segitiga ABC pada gambar. Garis AD adalah garis bagi. Garis AD menghubungkan titik sudut A dengan sisi BC pada titik D sedemikian hingga sudut BAD sama dengan sudut DAC yaitu setengah dari sudut Garis Tinggi Definisi garis tinggi dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut ke sisi dihadapannya secara tegak lurus membentuk sudut siku-siku. Perhatikan segitiga HIJ pada gambar. Garis HK adalah garis tinggi. Garis HK menghubungkan titik sudut H dengan sisi IJ pada titik K sedemikian hingga sudut HKI dan sudut HKJ tepat 90 derajat sudut siku-siku/sudut tegak lurus.Pengertian Garis Berat Definisi garis berat dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik sudut ke sisi di hadapannya dan membagi sisi tersebut menjadi dua bagian sama panjang. Perhatikan segitiga PQR pada gambar. Garis PS adalah garis berat. Garis PS menghubungkan titik sudut P dengan sisi QR pada titik S sedemikian hingga panjang sisi QS sama dengan panjang sisi SR yaitu setengah dari panjang sisi Garis Sumbu Definisi garis sumbu dalam sebuah segitiga adalah garis lurus yang menghubungkan satu titik pada segitiga dengan sisi dihadapannya dan membagi sisi tersebut menjadi dua bagian sama panjang secara tegak lurus. Perhatikan segitiga UVW pada gambar. Garis XY adalah garis sumbu. Garis XY menghubungkan titik X pada sisi segitiga dengan sisi VW pada titik Y sedemikian hingga panjang sisi VY sama dengan panjang sisi YW dan sudut XYV juga sudut XYW tepat 90 derajat sudut siku-siku/sudut tegak lurus. PertanyaanPerhatikan gambar berikut! Diketahui segitiga dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 6 cm. Jika garis berat AD, garis bagi BE, dan garis tinggi CF berpotonganpada satu titik O. Maka panjang AC adalah....Perhatikan gambar berikut! Diketahui segitiga dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 6 cm. Jika garis berat AD, garis bagi BE, dan garis tinggi CF berpotonganpada satu titik O. Maka panjang AC adalah.... PembahasanGaris BE adalah garis bagi, sehingga perbandingan AE EC menjadi Karena ketiga garis berpotongan pada satu titik, maka berlaku dalil ceva Dari perbandingan AF FB = 1 2, maka Garis CF adalah garis tinggi, sehingga berlaku dalil proyeksi garis tinggi CF Garis BE adalah garis bagi, sehingga perbandingan AE EC menjadi Karena ketiga garis berpotongan pada satu titik, maka berlaku dalil ceva Dari perbandingan AF FB = 1 2, maka Garis CF adalah garis tinggi, sehingga berlaku dalil proyeksi garis tinggi CF Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS!113Yuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal! PembahasanSegitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika AB = 10 cm dan CD garis bagi sudut C, panjang BD adalah Dikarenakan ABC segitiga siku-siku sama kaki maka AB = BC = 10 cm CD adalah sudut bagi, maka AD = BD = 5 cm Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika AB = 10 cm dan CD garis bagi sudut C, panjang BD adalah Dikarenakan ABC segitiga siku-siku sama kaki maka AB = BC = 10 cm CD adalah sudut bagi, maka AD = BD = 5 cm Segitiga merupakan bangun datar dasar pembentuk poligon yang sisinya lebih banyak. Setiap poligon yang sisinya lebih dari tiga pada dasarnya dapat dipartisi dipotong sehingga terbentuk segitiga-segitiga. Inilah yang menjadi alasan utama banyak sekali teorema yang berhubungan dengan segitiga. Salah satu teorema tersebut adalah teorema Ceva. Dalam geometri, teorema Ceva Ceva’s theorem, atau kadang disebut sebagai dalil Ceva, adalah teorema yang menjelaskan keterkaitan panjang sisi segitiga yang dipotong oleh segmen garis yang konkuren pada satu titik dengan menggunakan konsep perbandingan. Teorema ini dicetuskan oleh matematikawan Italia bernama Giovanni Ceva pada tahun 1678, tetapi menurut catatan sejarah, teorema ini dibuktikan pertama kali oleh Yusuf Al-Mu’taman ibn Hud, raja abad ke-11 di Zaragoza. Sebelum itu, ada istilah penting yang perlu diketahui bersama sebelum mempelajari teorema Ceva, yaitu cevian dan konkuren. Cevian adalah segmen garis pada segitiga dengan salah satu titik ujung pada titik sudut segitiga dan titik ujung lainnya pada sisi segitiga di hadapannya. Konkuren artinya kondisi ketika dua atau lebih garis berpotongan di satu titik. Segmen garis AD, BE, dan CF merupakan cevian pada segitiga ABC Perlu juga ditekankan bahwa pada segmen garis, notasi $AB$ sama dengan $BA$ karena garis tidak memperhatikan arah beda halnya jika kita membahas vektor. Teorema Ceva Diberikan segitiga $ABC$ dengan titik $D, E,$ dan $F$ masing-masing terletak pada garis $BC, CA,$ dan $AB$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Teorema Ceva menyatakan bahwa Garis $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik konkuren jika dan hanya jika $$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$$Berdasarkan aturan sinus, persamaan berikut juga turut berlaku. $$\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} \cdot \dfrac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF} \cdot \dfrac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1.$$ Sebelum membuktikan teorema Ceva, lema berikut perlu dibuktikan terlebih dahulu. Lema Selisih Perbandingan Jika $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k,$ maka $\dfrac{a-c}{b-d} = k$ untuk suatu bilangan real $k$ dan $b \neq d.$ Bukti Asumsikan $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k.$ Akan dibuktikan bahwa $\dfrac{a-c}{b-d} = k.$ Karena $\dfrac{a}{b} = k,$ diperoleh $a = bk.$ Begitu juga karena $\dfrac{c}{d} = k,$ berlaku $c = dk.$ Dengan demikian, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac{a-c}{b-d} & = \dfrac{bk-dk}{b-d} \\ & = \dfrac{k\cancel{b-d}}{\cancel{b-d}} \\ & = k \end{aligned}$$Syarat $b \neq d$ muncul agar penyebut tidak bernilai nol. Jadi, lema tersebut terbukti benar. $\blacksquare$ [collapse] Pembuktian Teorema Ceva Perhatikan bahwa pada redaksi teorema Ceva di atas, kata “jika dan hanya jika” menunjukkan bahwa kita harus membuktikan teorema tersebut dari dua arah dua kondisi, yaitu sebagai berikut. Jika garis $AD, DE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik, maka $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$ Jika $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1,$ maka garis $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik. Bukti ⇒ Akan dibuktikan bahwa kebenaran pernyataan pertama. Perhatikan gambar segitiga $ABC$ berikut. Asumsikan ketiga cevian tersebut berpotongan di satu titik konkuren, yaitu di titik $O.$ Akan dibuktikan bahwa $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$ Perhatikan bahwa $AF$ dan $FB$ masing-masing merupakan alas dari $\triangle ACF$ dan $\triangle BCF.$ Kedua segitiga tersebut memiliki tinggi yang sama sehingga luasnya sebanding dengan panjang alas. Di sisi lain, $AF$ dan $FB$ masing-masing juga merupakan alas dari $\triangle AOF$ dan $\triangle BOF.$ Kedua segitiga tersebut juga memiliki tinggi yang sama sehingga luasnya sebanding dengan panjang alas. Misalkan notasi $\left[XYZ\right]$ menyatakan luas segitiga $XYZ.$ Dengan demikian, kita tuliskan $$\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{\left[ACF\right]}{\left[BCF\right]} = \dfrac{\left[AOF\right]}{\left[BOF\right]}$$Menurut Lema Selisih Perbandingan, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FB} & = \dfrac{\left[ACF\right]-\left[AOF\right]}{\left[BCF\right]-\left[BOF\right]} \\ & = \dfrac{\left[AOC\right]}{\left[BOC\right]} && \cdots 1 \end{aligned}$$Dengan prinsip yang sama, kita peroleh juga bahwa $$\begin{aligned} \dfrac{BD}{DC} & = \dfrac{\left[AOB\right]}{\left[AOC\right]} && \cdots 2 \\ \dfrac{CE}{EA} & = \dfrac{\left[BOC\right]}{\left[AOB\right]} && \cdots 3 \end{aligned}$$Kalikan ketiga persamaan yang didapat sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} & = \dfrac{\color{red}{\left[AOC\right]}}{\color{blue}{\left[BOC\right]}} \cdot \dfrac{\color{green}{\left[AOB\right]}}{\color{red}{\left[AOC\right]}} \cdot \dfrac{\color{blue}{\left[BOC\right]}}{\color{green}{\left[AOB\right]}} \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa pernyataan pertama bernilai benar. $\blacksquare$ [collapse] Bukti ⇐ Akan dibuktikan bahwa kebenaran pernyataan kedua. Perhatikan gambar segitiga $ABC$ berikut. Asumsikan bahwa pada segitiga tersebut berlaku $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$ Misalkan cevian $AD$ dan $BE$ berpotongan di sembarang titik $O.$ Posisikan titik $F’$ pada $AB$ sehingga terbentuk cevian ketiga, yaitu $CF’$, sehingga berlaku $\dfrac{AF’}{F’B} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$ Di lain sisi, kita telah asumsikan bahwa $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$ Dengan membandingkan kedua persamaan tersebut, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{AF’}{F’B} & = \dfrac{AF}{FB} \\ \text{Tambahkan}~&1~\text{pada kedua ruas} \\ \dfrac{AF’}{F’B} + 1 & = \dfrac{AF}{FB} + 1 \\ \dfrac{AF’ + F’B}{F’B} & = \dfrac{AF + FB}{FB} \\ \dfrac{AB}{F’B} & = \dfrac{AB}{FB} \\ F’B & = FB \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik $F’$ yang kita posisikan pertama kali merupakan titik $F$. Karena titik $F$ merupakan titik potong ketiga cevian konkuren, pernyataan kedua telah terbukti benar. $\blacksquare$ [collapse] Sebagai latihan, berikut ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan terkait Teorema Ceva yang dikumpulkan dari berbagai referensi. Setelah mempelajari teorema Ceva, silakan lanjutkan dengan mempelajari teorema Menelaus yang tautannya ada di bawah ini. Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Menelaus Quote by Albert Einstein Orang-orang yang tidak pernah melakukan kesalahan adalah mereka yang tidak pernah mencoba hal yang baru. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan gambar segitiga sembarang $ABC$ berikut. Titik $D, E,$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC, AC,$ dan $AB$ sehingga ketiga garis $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik. Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac23$ E. $\dfrac43$ B. $\dfrac13$ D. $\dfrac32$ Pembahasan Karena ketiga garis yang ditarik dari titik sudut segitiga menuju titik pada sisi di seberangnya konkuren berpotongan di satu titik, berlaku teorema Ceva. $$\begin{aligned} \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} & = 1 \\ \dfrac24 \cdot \dfrac{x}{1} \cdot \dfrac32 & = 1 \\ \dfrac34 \cdot x & = 1 \\ x & = \dfrac43 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang mewakili panjang sisi $CE$ adalah $\boxed{\dfrac43}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Perbandingan dan Skala Soal Nomor 2 Segitiga sembarang berikut memiliki tiga cevian yang konkuren. Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{62}{17}$ D. $\dfrac{56}{15}$ B. $\dfrac{28}{9}$ E. $\dfrac{52}{15}$ C. $\dfrac{64}{17}$ Pembahasan Beri nama titik pada segitiga tersebut seperti berikut. Titik $O$ merupakan titik potong ketiga cevian. Menurut teorema Ceva, berlaku $$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} & = 1 \\ \dfrac37 \cdot \dfrac54 \cdot \dfrac{x}{2} & = 1 \\ \dfrac{15}{56}x & = 1 \\ x & = \dfrac{56}{15} \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac{56}{15}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui segitiga $ABC$ dengan sudut siku-siku di $A.$ Cevian $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di titik $O$ seperti tampak pada gambar. Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{14}{15}$ D. $\dfrac{182}{29}$ B. $\dfrac{15}{14}$ E. $\dfrac{200}{29}$ C. $\dfrac{145}{29}$ Pembahasan Karena $\triangle ABC$ merupakan segitiga siku-siku, berlaku teorema Pythagoras untuk mencari panjang sisi miring $BC.$ $$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 + AC^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{169} = 13 \end{aligned}$$Karena $DC = x,$ diperoleh $BD = 13-x.$ Dengan menggunakan teorema Ceva, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} & = 1 \\ \dfrac{13-x}{x} \cdot \dfrac75 \cdot \dfrac23 & = 1 \\ \dfrac{13-x}{x} \cdot \dfrac{14}{15} & = 1 \\ \dfrac{13-x}{x} & = \dfrac{15}{14} \\ 1413-x & = 15x \\ 182-14x & = 15x \\ 182 & = 29x \\ \dfrac{182}{29} & = x \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac{182}{29}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras Soal Nomor 4 Diketahui titik $D, E,$ dan $F$ masing-masing terletak pada sisi $AB,$ sisi $BC,$ dan sisi $AC$ dengan perbandingan $BE EC = 2 3$ dan $AF FC = 8 9.$ Jika panjang sisi $AB = 28$ cm dan garis $AE, BF,$ dan $CD$ berpotongan di satu titik, maka panjang $AD = \cdots$ cm. A. $12$ C. $16$ E. $20$ B. $14$ D. $18$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Misalkan ketiga garis $AE, BF,$ dan $CD$ berpotongan di titik $O.$ Menurut teorema Ceva, berlaku $$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CF}{FA} & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{8} & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac34 & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac43 \end{aligned}$$Kita peroleh perbandingan $AD DB = 4 3.$ Dari gambar di atas, kita peroleh $AD AB = 4 7.$ Diketahui panjang $AB = 28$ cm sehingga $$\begin{aligned} AD & = \dfrac47 \cdot AB \\ & = \dfrac{4}{\cancel{7}} \cdot \cancelto{4}{28} = 16 \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{AD = 16~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Pada segitiga $ABC,$ garis tinggi $AD,$ garis bagi $BE,$ dan garis berat $CF$ berpotongan di satu titik. Jika panjang $AB = 4, BC = 3,$ dan $CD = \dfrac{m}{n}$ dengan $m, n$ relatif prima, maka nilai $m-n$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $5$ E. $8$ B. $3$ D. $6$ Pembahasan Istilah berikut perlu diketahui terlebih dahulu. Garis tinggi, yaitu garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga sehingga tegak lurus dengan sisi di hadapannya. Garis bagi, yaitu garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga menuju sisi di hadapannya sehingga membagi sudutnya sama besar. Garis berat, yaitu garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga sehingga membagi dua sama panjang sisi di hadapannya. Sekarang, gambarkan sketsa segitiga $ABC$ seperti berikut. Misalkan garis bagi $BE$ membagi $\angle ABC$ menjadi dua sama besar, yaitu $\angle ABE = \angle CBE = \theta.$ Sementara itu, $CF$ mengakibatkan sisi $AB$ terbagi menjadi dua bagian dengan panjang yang sama, yaitu $AF = FB = 2.$ Dengan menggunakan aturan luas segitiga menurut sinus, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{\left[ABE\right]}{\left[BCE\right]} & = \dfrac{\frac12 \cdot AB \cdot \bcancel{BE} \cdot \cancel{\sin \theta}}{\frac12 \cdot BC \cdot \bcancel{BE} \cdot \cancel{\sin \theta}} \\ & = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac43 && \cdots 1 \end{aligned}$$Di lain pihak, $\triangle ABE$ dan $\triangle BCE$ keduanya memiliki tinggi yang sama, misalkan $t.$ Dengan menggunakan rumus luas segitiga dasar, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac{\left[ABE\right]}{\left[BCE\right]} & = \dfrac{\frac12 \cdot AE \cdot t}{\frac12 \cdot EC \cdot t} \\ & = \dfrac{AE}{EC} && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari persamaan $1$ dan $2,$ diperoleh $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac43.$ Selanjutnya, menurut teorema Ceva berlaku $$\begin{aligned} \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DB} \cdot \dfrac{BF}{FA} & = 1 \\ \dfrac43 \cdot \dfrac{CD}{DB} \cdot \dfrac22 & = 1 \\ \dfrac{CD}{DB} & = \dfrac34 \end{aligned}$$Misalkan $CD = 3x$ dan $DB = 4x,$ sedangkan diketahui bahwa $CB = 3.$ Oleh karena itu, diperoleh $$\begin{aligned} CD + DB & = CB \\ 3x + 4x & = 3 \\ 7x & = 3 \\ x & = \dfrac37 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $CD = 3x = 3 \cdot \dfrac37 = \dfrac{9}{7}.$ Diketahui bentuk $CD = \dfrac{m}{n},$ artinya $m = 9$ dan $n = 7$ keduanya relatif prima karena $\text{FPB}9, 7 = 1$ sehingga $\boxed{m-n=9-7=2}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri Bagian Uraian Soal Nomor 1 Buktikan bahwa jika $X, Y,$ dan $Z$ merupakan titik-titik tengah sisi segitiga, maka ketiga cevian yang melalui ketiga titik tersebut konkuren. Pembahasan Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dengan $X, Y, Z$ berturut-turut terletak tepat di tengah sisi $AB, BC,$ dan $AC$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Karena terletak di tengah, haruslah $AX = XB,$ $BY = YC,$ dan $CZ = ZA$ sehingga berakibat $$\dfrac{AX}{XB} \cdot \dfrac{BY}{YC} \cdot \dfrac{CZ}{ZA} = 1$$Menurut teorema Ceva, jika persamaan tersebut terpenuhi, maka ketiga cevian $AY, BZ,$ dan $CX$ berpotongan di satu titik konkuren. Jadi, pernyataan telah terbukti. Catatan Titik perpotongan ketiga cevian dengan kondisi tersebut dikenal sebagai sentroid centroid. [collapse] Soal Nomor 2 Buktikan bahwa ketiga garis tinggi pada suatu segitiga sembarang pasti konkuren. Pembahasan Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dengan $F, D, E$ berturut-turut terletak di sisi $AB, BC,$ dan $AC$ sehingga $AD \perp BC,$ $BE \perp AC,$ dan $CF \perp AB$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Pertama, perhatikan bahwa $\triangle BFC \sim \triangle BDA$ kedua segitiga itu sebangun karena memiliki dua sudut yang sama besar sehingga berlaku $\dfrac{BF}{BD} = \dfrac{BC}{AB}.$ Kedua, perhatikan bahwa $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ sehingga berlaku $\dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC}.$ Terakhir, perhatikan bahwa $\triangle CDA \sim \triangle CEB$ sehingga berlaku $\dfrac{CD}{CE} = \dfrac{AC}{BC}.$ Kalikan ketiga persamaan tersebut sesuai ruasnya sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac{BF}{BD} \cdot \dfrac{AE}{AF} \cdot \dfrac{CD}{CE} & = \dfrac{\color{red}{BC}}{\color{blue}{AB}} \cdot \dfrac{\color{blue}{AB}}{\color{green}{AC}} \cdot \dfrac{\color{green}{AC}}{\color{red}{BC}} \\ \dfrac{BF}{AF} \cdot \dfrac{CD}{BD} \cdot \dfrac{AE}{CE} & = 1 \\ \dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} & = 1 \end{aligned}$$Menurut teorema Ceva, jika persamaan tersebut terpenuhi, maka ketiga cevian $AD, BE,$ dan $CF$ garis tinggi segitiga berpotongan di satu titik konkuren. Jadi, pernyataan telah terbukti. Catatan Titik perpotongan ketiga cevian dengan kondisi tersebut dikenal sebagai ortosenter orthocenter. [collapse]

diketahui segitiga abc dengan garis tinggi ad seperti gambar berikut